Chapitre 0 : Les nombres réels

Ecritures décimales et fractions

Quand on parle de nombres, on ne peut éviter de parler d'écritures de ces derniers. Or, depuis que vous avez appris à les écrire, vous avez sûrement vu qu'il existe un parallèle entre les écritures décimales et les fractions (Par exemple 1/2 = 0,5). Voici un document qui vous permettra de peut-être mieux comprendre ce lien :

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Conséquence intéressante :

Voici une égalité très étrange :

1 = 0,9999999... = 0,9

En effet,

x = 0,9 Si et seulement si 10x = 9,9 Si et seulement si 9x = 9 Si et seulement si x = 1

Etant donné le document précédent, on peut aussi s'en convaincre en écrivant :

0,9999999... = 0,9 = 9/9 = 1

Quelques ensembles de nombres

En classe, nous avons étudié les ensembles de nombres les plus communs et les avons représenté par le diagramme de Venn suivant :

Diagramme de Venn des ensembles usuels

Pour rappel, il s'agit des naturels (), des entiers (), des rationnels (), des irrationnels (II) et des réels (). Cependant, il existe encore beaucoup de catégories très connues.

1) Au delà des réels:

Les complexes () et les quaternions (H) : Je ne les développe pas ici. Ils feront l'objet d'un futur cours et peut-être d'un article plus tard.

2) Les différents irrationnels :

L'ensemble des irrationnels se divise en deux grandes catégories.

a) Les nombres algébriques:

Un nombre algébrique est un nombre qui est solution d'une équation polynômiale à coefficient rationnel. (Tous les nombres rationnels sont algébriques). Par exemple, √2 est un nombre algébrique car c'est la solution de l'équation x² = 2.

b) Les nombres transcendants :

Un nombre réel qui n'est pas algébrique. Par exemple, π, φ, 0,12345678910111213141516...

3) Les nombres décimaux (D):

Un nombre décimal est un nombre rationnel pouvant s'écrire sous forme de fraction à termes entiers avec un dénominateur égal à une puissance de 10. Il s'agit donc d'un nombre ayant une écriture décimale de période 0 ou autrement dit, une écriture décimale limitée.

Par exemple, 0,251 est décimal car 0,251 = 251/1000 = 251/10³.

Les décimaux forment donc un sous-ensemble des rationnels. Les seuls rationnels n'étant pas décimaux sont donc les nombres ayant une écriturs décimale illimitée périodique ayant une autre période que 0 (Par exemple, 0,45 = 45/99).

Pour l'instant, les ensembles de nombres cités nous donnent donc le diagramme de Venn suivant:

Diagramme de Venn de quelques ensembles

Claroline

Des exercices supplémentaires sont disponibles sur la plateforme "Claroline". Pour plus d'informations quant à cet outil, consultez la rubrique " Liens"

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