Chapitre 1 : Pythagore et les racines carrées - Suite

Le théorème de Pythagore Les racines carrées Exercices Supplémentaires

La spirale des irrationnels

La spirale des irrationnels est un outil incroyablement simple qui permet d'approximer les racines carrées de nombres naturels. On l'attribue à Théodore de Cyrène (Grèce, -465 à -398). En voici, une ébauche :

Spirale des irrationnels

Sa construction n'est pas compliquée. Tous les triangles sont rectangles, ont un côté de l'angle droit mesurant 1cm et se construisent chaque fois sur l'hypoténuse du précédent. Il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore pour se persuader de la véracité des longueurs indiquées.

Preuve de l'irrationalité de √2

Consultez le document IcI (pdf)

Grâce à cette preuve, nous pouvons donc affirmer que √2 s'écrit sous une forme décimale illimitée non périodique. Aucune décimale de ce nombre ne se laissera donc découvrir facilement. En voilà quand même quelques-unes:

√2 ≅ 1,41421356237309504880168812420969807856967187537694807317667973799073247846210703 8850387534327641572735013846230912297...

Cette preuve peut être étendue pour obtenir l'affirmation suivante:

La racine carrée d'un nombre naturel autre qu'un carré parfait est un nombre irrationnel.

Irrationalité et fractions continues

Nous avons vu qu'un nombre irrationnel s'écrit sous forme décimale illimitée non périodique. Il est pourtant possible d'écrire certains de ces irrationnels sous une forme périodique ! Pour cela, il faut faire appel à l'écriture en fraction continue.

Exemple:

*√11 fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en fraction continue périodique. En fraction continue, on peut écrire √11 = [3,3,6,3,6,3,6,...] = [3;(3,6)], ce qui signifie :

Développement en fraction continue de √11

*√2 peut également s'écrire sous forme de fraction continue périodique. En effet, √2 = [1;2].

Preuve:

Preuve du développement en fraction continue de √2

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