Chapitre 1 : Pythagore et les racines carrées

Le théorème de Pythagore Les racines carrées Exercices Supplémentaires

Quelques mots sur Pythagore

Pythagore (Πυθαγορας) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 ACN à Samos, une île de la mer Égée. Il serait mort vers 497 ACN.

Contrairement à ce qu'on croit, Pythagore n'était pas le seul à être arrivé aux conclusions que nous connaissons. En effet, on a retrouvé des traces du théorème et de ces démonstrations en Chine et en Inde. Elles seraient 1 ou 2 siècles plus jeunes que Pythagore.

Quelques preuves du théorème "dit" de Pythagore

Une preuve par mouvement de Thabit ibn Qurra

Consultez la preuve IcI.

Preuve de Garfield (Trapèze)

Consultez la preuve IcI (pdf)

Preuve d'Euclide

Consultez la preuve IcI (site externe)

Attention ! Avant d'aller consulter cette preuve, il est préférable d'avoir lu au préalable la propriété 1 se trouvant sur cette page.

Preuve "cousine" d'Euclide

Consultez la preuve IcI

Attention ! Avant d'aller consulter cette preuve, il est préférable d'avoir lu au préalable la propriété 2 se trouvant sur cette page.

Les triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un ensemble de 3 nombres naturels satisfaisant la relation "a² = b² + c²". Il est intéressant de se demander combien de tels triplets existent. La réponse à cette question peut paraître évidente mais sa justification l'est peut-être moins. En effet, il est certain qu'en élargissant la définition de tels triplets à un ensemble de 3 nombres réels, nous pouvons dire qu'il y a une infinité de triplets puisqu'on peut construire une infinité de triangles rectangles différents. Cependant, lorsqu'on restreint cette définition aux nombres naturels, cela devient plus problématique. Peut-on avec certitude construire autant de triangles rectangles dotés de 3 côtés de longueur entière que l'on veut ? Cette question a en tout cas le mérite d'être posée.

Intéressons-nous y comme les Babyloniens (1900 ACN) et les disciples de Pythagore s'y sont intéressés (ne fût-ce qu'un court instant comparé à ces derniers).

On trouve facilement quelques triplets tels que (3;4;5), (5;12;13), (30;40;50) ou (33;44;55). Ces quelques exemples permettent déjà de répondre à la question. En effet, il y a une infinité de triplets pythagoriciens puisque si (3;4;5) en est un, alors tous les triplets obtenus par multiplication de (3;4;5) par un nombre quelconque non nul est pythagoriciens. De fait, si a² = b² + c², alors (k.a)² = (k.b)² + (k.c)² car

(k.a)² = (k.b)² + (k.c)² Si et seulement si a²k² = b²k² + c²k² Si et seulement si a²k² = (b² + c²).k² Si et seulement si a² = b² + c² (si k ≠ 0)

On peut donc donner une infinité d'exemples de triplets pythagoriciens à partir du triplet (3;4;5). Par exemple, (300;400;500), (15;20;25) ou encore (6;8;10).

Néanmoins, n'arrêtons pas notre recherche ici, même si nous avons répondu à notre question de départ. Il serait un peu dommage de ne créer que des nouveaux triplets ayant une base commune. Soyons plus originaux ! Pour se faire, prenons connaissance d'un des travaux réalisés par les disciples de Pythagore qui ont trouvé la propriété suivante:

Si m est un nombre naturel impair alors m, ½(m² - 1) et ½(m² + 1) forment un triplet pythagoricien.

Essayons ! Si m = 11, alors le triplet serait (11;60;61). On aurait dès lors l'égalité suivante:

11² + 60² = 61² Si et seulement si 121 + 3600 = 3721 (Ca fonctionne !)

N'est-ce pas magique ? Magnifique certainement, magique pas vraiment puisqu'il suffit de vérifier l'égalité suivante :

m² + (½(m² - 1))² = (½(m² + 1) )²

Ce que je vous laisse le soin de faire tout seul en exercice ! Un autre exercice intéressant est de justifier le fait que m doit être impair. A nouveau, je vous laisse réfléchir. (N'hésitez pas à me communiquer vos résultats).

En conclusion, nous avons déterminé qu'il existe bien une infinité de triplets pythagoriciens et nous avons même aperçu un moyen d'en trouver très aisément. N'est-ce pas magnifique ?

Extensions du théorème de Pythagore

Avant d'énoncer une relation entre les carrés des longueurs d'un triangle rectangle, le théorème de Pythagore mentionne une relation d'aires. En effet, le carré de la longueur l'hypoténuse équivaut à l'aire d'un carré construit sur cette hypoténuse. Rappelons le théorème en l'énonçant comme une relation d'aires.

Dans tout triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Dans le cas suivant, cela revient à dire que la surface jaune est égale à la surface orange.

Le théorème de Pythagore énoncé par un dessin

Lorsqu'on voit le théorème de cette manière, plusieurs extensions sont possibles et intéressantes à observer. En effet, si on ne construit pas des carrés mais des triangles équilatéraux ou encore des demi-cercles, cette égalité d'aire est toujours vraie ! Voici ce que cela donnerait une fois construit:

Le théorème de Pythagore étendu aux triangles équilatéraux  ET  Le théorème de Pythagore étendu aux demi-cercles

Essayons de prouver ces extensions. Pour cela, téléchargez le document suivant où vous trouverez ces extensions énoncées sous forme d'exercices.

Consultez le document IcI (pdf)

Ce qui est encore plus étonnant, c'est que ces extensions ne sont pas uniques. En effet, on peut faire les mêmes constatations si on construit sur chaque côté n'importe quel polygone régulier. Mieux, cela fonctionne aussi avec des figures géométriques qui ont un rapport constant entre les deux mesures multipliées pour obtenir leur aire (par exemple, des parallélogrammes dont le rapport entre la base et la hauteur est 5). Essayer de s'en convaincre est un très bon exercice. A vous de jouer !

A partir de ces constations, on peut aussi voir d'autres très belles choses telles que les lunules d'Hippocrate illustrées par la figure suivante. La particularité de cette construction est que l'aire combinée des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle (Preuve dans le document précédent).

Illustration des Lunules d'Hippocrate

En conclusion, limiter les triangles rectangles à une relation d'aires de carrés est un peu simpliste quand on voit tout ce qu'on peut faire à partir ceux-ci. Il ne tient qu'à nous d'explorer ce qu'ils nous offrent !

Triangle rectangle et projection orthogonale

Le théorème de Pythagore n'est pas la seule relation que l'on peut donner entre les longueurs d'un triangle rectangle. En effet, il permet d'en déterminer beaucoup d'autres ! Par exemple, il existe un lien entre la longueur de la hauteur relative à l'hypoténuse et les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse qui sont également les projections orthogonales des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.

Voilà qui est très long et lourd à dire. Contentons nous d'observer la représentation suivantes et les 3 "formules" qu'elle fait apparaître.

h²=rs b²=ar c²=as

Dessin Propriété Triangle rectangle et projection orthogonale

Ces relations sont démontrées grâce au théorème de Pythagore mais peuvent aussi l'être par la trigonométrie ou les triangles semblables. Tout cela est expliqué sur l'article suivant.

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