Chapitre 12: Eléments de trigonométrie

Triangle rectangle et projection orthogonale

Comme nous l'avons vu au cours, les fondements de la trigonométrie se trouvent dans le triangle rectangle. De ce fait, il est possible de trouver un lien intéressant avec deux autres chapitres: Le chapitre 1 et le chapitre 8.

De fait, le lien unissant le théorème de Pythagore et cette fameuse "trigono" naît dans le fait que ces deux notions s'installent dans les triangles rectangles. Et cela suffit !

Pour ce qui est du rapprochement avec les triangles semblables, on observe que les deux notions expriment des rapports de longueurs. De plus, nous avons vu que pour montrer que le sinus (ou cosinus ou tangente) d'un angle donné renvoie toujours un même nombre, il suffit de montrer que deux triangles rectangles ayant un angle aigu en commun sont forcément semblables et conservent donc les rapports de longueurs des côtés homologues. Ces deux chapitres sont donc intimement liés.

Comment dès lors observer à nouveau un lien fort entre ces trois chapitres ? Eh bien, il suffit d'éudier les différentes preuves du théorème exprimé par la figure suivante.

h²=rs b²=ar c²=as

Dessin Propriété Triangle rectangle et projection orthogonale

Ces relations peuvent donc être démontrées grâce au théorème de Pythagore, la trigonométrie ou les triangles semblables. Tout cela est expliqué sur l'article suivant.

Trigonométrie dans un triangle quelconque : Le théorème d'Al-Kashi

Comme vu en classe, la trigonométrie voit le jour dans les triangles rectangles. Par conséquent, son domaine d'application paraît fort limité. Pourtant, cela est totalement faux ! Nous allons voir ici comment étendre sans trop de difficultés, cette fameuse "trigo" à tout type de triangle. Commençons par observer le triangle suivant qui n'a aucune particularité.

Représentation d'un triangle quelconque

Le théorème que nous allons découvrir va nous donner un lien entre les longueurs de côtés d'un triangle et l'amplitude de ses angles. C'est au mathématicien perse Al-Kashi (vers 1380-1429) que nous devons cette magnifique relation :

c² = a² + b² - 2ab.cos γ

Afin de démontrer cette égalité, commençons par construire la hauteur AD et exprimons |AD|,|CD| et |BD| en les liant à la fois à des côtés et des angles.

Représentation d'un triangle quelconque avec hauteur

sin γ = |AD|/b
Si et seulement si |AD| = b.sin γ
cos γ = |CD|/b
Si et seulement si |CD| = b.cos γ
|BD| = a - |CD|
Si et seulement si |BD| = a - b.cos γ

Donc, comme par le théorème de Pythagore c²=|AD|²+|BD|²,

c² = (b.sin γ)² + (a - b.cos γ)²

Si et seulement si c² = (b².sin² γ) + (a² + b².cos² γ - 2ab.cos γ)

Si et seulement si c² = b².sin² γ + b².cos² γ + a² - 2ab.cos γ

Or, si on pense à le relation fondamentale de la trigonométrie (sin² γ + cos² γ = 1) donnée à nouveau par théorème de Pythagore, on peut simplifier cette expression très facilement en analysant la partie verte. En effet,

b².sin² γ + b².cos² γ = b².(sin² γ + cos² γ) = b².1 = b²

D'où,

c² = + a² - 2ab.cos γ

Pour avoir le théorème complet, il faut faire le même travail pour les 2 côtés restants du triangle. Par une démonstration similaire, on montre donc que

a² = b² + c² - 2bc.cos α et b² = a² + c² - 2ac.cos β.

Claroline

Des exercices supplémentaires sont disponibles sur la plateforme "Claroline". Pour plus d'informations quant à cet outil, consultez la rubrique " Liens"

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