Chapitre 3 : Les angles

Triangle rectangle inscrit dans un cercle

Si l'un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle (le diamètre du cercle circonscrit est alors son hypoténuse).

Voici une preuve :

Dessin

Note:

Tu peux bouger le point A et observer que le triangle reste rectangle.

Hypothèses

Soient un cercle de centre O de diamètre BC et un point A sur ce cercle.

Thèse

Le triangle ABC est rectangle en A Si et seulement si |BÂC| = 90°

Démonstration

Rajoutons le rayon [AO] pour y voir plus clair.

Triangle Rectangle Inscrit dans un cercle

On aperçoit dès lors qu'AOB et AOC sont isocèles car 2 de leurs côtés sont rayons du même cercle.

Par conséquent, les 2 angles rouges ont même amplitude (de même que les angles verts) puisque dans un triangle isocèle les angles adjacents aux côtés qui ne sont pas de même longueur ont même amplitude.

Or, |B|+|C|+|BÂC| = 180° (car la somme des amplitudes d'angles d'un triangle est 180°)

Si et seulement si2*Rouge + 2*Vert = 180°

Si et seulement siRouge + Vert = 90°.

Donc, |BÂC| = 90°.

C.Q.F.D.

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