Chapitre 8: Les figures semblables

Le nombre d'or et les divines proportions

Lorsqu'on parle de figures semblables, on passe forcément par la notion de proportion. Cette notion de géométrie a influencé un grand nombre de domaines tels que l'art et l'architecture. Comment ? Ces deux domaines sont essentiellement basés sur la beauté et selon les dires anciens, il existe un nombre qui permet d'assurer une harmonie utile à la beauté. Ce nombre est appelé nombre d'or et est noté φ. Nous allons tenter de le trouver mais aussi de l'étudier un petit peu.

Pour commencer notre recherche, regardons les 4 rectangles suivants. Parmi ceux-ci se trouve un rectangle d'or (rectangle dont les proportions donnent φ). Selon vous, lequel paraît le plus beau ?

Parmi les rectangles se cachent un rectangle d'or

Le rectangle jugé comme étant le plus beau au niveau des proportions est le n°1. En effet, il s'agit du rectangle d'or. Nous allons voir comment un tel rectangle est construit et nous tâcherons ensuite d'y déceler φ.

La construction d'un rectangle d'or est expliquée par la figure suivante.

Construction rectangle d'or

Pour commencer, il faut construire un carré ABEG. Ensuite, il faut placer le point F au milieu de [GE] et reporter la distance |BF| sur GE pour obtenir D. Il reste à placer C pour que AGDC soit un rectangle qui peut être qualifié de rectangle d'or.

Cherchons maintenant φ. Pour cela, trouvons le rapport entre la largeur et la longueur. On sait que la largeur mesure "a". Que mesure alors [GD] ? Par le théorème de Pythagore, on peut trouver |BF|. En effet,

Recherche de φ

D'où,

Recherche de φ

Ce qui nous donne comme rapport

Recherche de φ

Par conséquent, φ≅0,61803399. Puisqu'il est obtenu à partir de √5 en retranchant des naturels, on en conclut qu'il est irrationnel. Ceci est pour le moins étrange pour proportion acceptée par tous.

Maintenant que nous avons trouvé φ, il est temps de découvrir les raisons de sa magie.

Le rectangle d'or dont il est à l'origine a un particularité unique. En effet, lorsqu'on le construit, il est divisé en un carré et un second rectangle qui se trouve être également rectangle d'or. Par exemple, dans la figure précédente, ACDG est un rectangle d'or tout comme CDEB ! ACDG est donc semblable à CDEB. Cela paraît un peu mince mais les conséquences que cela implique sont énormes.

Nous pourrions voir encore beaucoup de choses sur ce nombres mais nous nous arrêterons là. Si toutefois cela vous intéresse, voici quelques pistes à explorer:

- φ est appelé "petit" nombre d'or car en effet, il existe le grand nombre d'or Φ≅1,61803399 ! Ce sont les 2 seuls nombres inverses dont la différence est 1.

- Le pentagramme est une figure utilisée notamment en magie et dans lequel φ est très présent.

- La suite de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,...) est une suite de nombres naturels qui cache φ.

- La spirale d'or obtenue grâce à la répétition d'un rectangle d'or.

Bref, le nombre d'or est un nombre qui a fasciné et qui fascine toujours beaucoup de monde. Il mérite qu'on s'y attarde un instant.

Triangle rectangle et projection orthogonale

Lorsqu'on travaille dans des figures semblables particulières, on peut souvent faire de belles choses. Par exemple, si on travaille uniquement avec des triangles rectangles semblables, il est possible de trouver un lien intéressant avec deux autres chapitres: Le chapitre 1 et le chapitre 12.

De fait, le lien avec le théorème de Pythagore est évident puisqu'on travaille avec des triangles rectangles.

Pour ce qui est du rapprochement avec la trigonométrie, on observe que les deux notions expriment des rapports de longueurs. De plus, nous avons vu que pour montrer que le sinus (ou cosinus ou tangente) d'un angle donné renvoie toujours un même nombre, il suffit de montrer que deux triangles rectangles ayant un angle aigu en commun sont forcément semblables et conservent donc les rapports de longueurs des côtés homologues. Ces deux chapitres sont donc intimement liés.

Comment dès lors observer à nouveau un lien fort entre ces trois chapitres ? Eh bien, il suffit d'éudier les différentes preuves du théorème exprimé par la figure suivante.

h²=rs b²=ar c²=as

Dessin Propriété Triangle rectangle et projection orthogonale

Ces relations peuvent donc être démontrées grâce au théorème de Pythagore, la trigonométrie ou les triangles semblables. Tout cela est expliqué sur l'article suivant.

Claroline

Des exercices supplémentaires sont disponibles sur la plateforme "Claroline". Pour plus d'informations quant à cet outil, consultez la rubrique " Liens"

Copyright 2011©, tous droits réservés. Webmaster: M. Termolle