Propriétés importantes

Propriété 1 - Triangles de même aire

La propriété qui suit est une des propriétés qu'on utilise beaucoup en géométrie. Elle est notament utilisée pour démontrer le théorème de Pythagore (Preuve d'Euclide). La voici énoncée :

Si deux triangles ont une base commune et un troisième sommet situé sur une même parallèle à cette base, alors ils ont même aire.

Voici une preuve :

Dessin

Dessin Propriété 1

Hypothèses

Soient les triangles ABC et ABC' tels que C et C' soient sur une même droite d parallèle à AB

Thèse

Les triangles ABC et ABC' ont même aire

Démonstration

L'aire d'un triangle se calcule selon la formule suivante: (Base x Hauteur)/2.

La base étant la même pour ABC et ABC', il reste à montrer que la hauteur est la même. Ainsi, le calcul d'aire donnera toujours le même résultat.

Or, leur hauteur est perpendiculaire à la base et délimitée par la droite d parallèle à cette dernière. Ces hauteurs, "coincées" entre 2 parallèles, ont donc la même longueur ! (Vous pouvez vous en presuader en faisant bouger le point C' sur la figure qui suit). ABC et ABC' ont donc bien la même aire.

C.Q.F.D.

Propriété 2 - Parallélogramme de même aire

Cette propriété est similaire à la propriété vue ci-dessus et est également utilisée pour démontrer le théorème de Pythagore (Preuve cousine d'Euclide). La voici énoncée :

Les parallélogrammes de même base ayant le côté opposé construit sur une même parallèle sont d'aires égales.

La preuve est semblable à celle de la propriété 1. Je vous laisse donc le soin de la faire avec comme aide l'animation qui suit.

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