Triangle rectangle et projection orthogonale

Enoncé

Soient un triangle ABC rectangle en A et sa hauteur AD.

Dessin Propriété Triangle rectangle et projection orthogonale

Deux propriétés se dégagent de cette situation:

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de la hauteur issue de l'angle droit est égal au produit des longueurs des segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse. Autrement dit, h²=rs.

et

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d'un côté de l'angle droit est égale au produit de la longueur de l'hypoténuse par la longueur de sa projection orthogonale sur l'hypoténuse. Autrement dit, b²=ar et c²=as.

Ces propriétés sont très intéressantes à démontrer car on peut construire 3 preuves différentes se basant chacune sur un chapitre étudié au cours de cette année. A savoir, le théorème de Pythagore, la trigonométrie et les triangles semblables.

Quelle preuve souhaitez-vous consulter ?

Par Pythagore     Par la trigonométrie     Par les triangles semblables    

Preuve par le théorème de Pythagore

1) h² = rs

On sait par le théorème de Pythagore que a²=b²+c² mais aussi que b²=h²+r² et c²=h²+s². Par conséquent,

Partie 1 - Preuve h²=rs

Or, par hypothèse,

a = r + s

D'où,

Partie 2 - Preuve h²=rs

C.Q.F.D.

2) b² = ar et c² = as

b²=arc²=as
Preuve b²=arPreuve c²=as

C.Q.F.D.

Preuve par la trigonométrie

1) h² = rs

Puisque nous travaillons dans un triangle rectangle coupé par une hauteur, on se retrouve avec 3 triangles rectangles dans lesquels on peut appliquer la trigonométrie de base. Ainsi, on trouve que

tan (A1) = r/h   et   tan (A2) = s/h.

Or, ces 2 tangentes sont inverses puisqu'elles sont obtenues par des angles complémentaires. Dès lors,

tan (A1) = 1/tan (A2)

C.Q.F.D.

2) b² = ar et c² = as

Etant donné la configuration de notre construction, le cosinus d'un même angle peut-être vu de 2 manières différentes. Par exemple, selon qu'on se pose dans le triangle BAD ou BCA, on obtient

cos (B)=r/b   ou   cos (B)=b/a.

Les deux rapports obtenus sont donc égaux. Par conséquent,

r/b=b/a.

C.Q.F.D.

Notes:

Le même raisonnement peut être tenu pour prouver la deuxième relation.

Preuve par les triangles semblables

1) h² = rs

On sait que le triangle ABD est semblable à CAD car il y a au moins 2 angles homologues de même amplitude (prouvé en classe). Par conséquent,

|BD|/|AD| =|AD|/|CD|.

C.Q.F.D.

2) b² = ar et c² = as

On sait que le triangle BAD est semblable à BCA car il y a au moins 2 angles homologues de même amplitude (prouvé en classe). Par conséquent,

|AB|/|CB| =|BD|/|BA|.

C.Q.F.D.

Notes:

La même observation peut-être menée avec les triangles BCA et ACD pour démontrer la seconde relation.

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